Mathématiques du poker : cotes et probabilités

Voici notre premier volet consacré au mathématiques du poker. Retrouvez dans cet article la définition d’un out et comment calculer les probabilités de le toucher.

Pour certain, le poker est un jeu de chance. Il faut de la “chatte”. Pour d’autre, pour gagner au poker il faut être un fin psychologue. Pour certain, il faut savoir calculer. On va faire simple et on va synthétiser : On va dire que pour gagner au poker il y a 4 grandes composante qui rentrent en ligne de compte :

  • L’adresse
  • La psychologie
  • La chance
  • Les mathématiques

Les mathématiques du poker : un outil d’aide à la décision au poker

Dans cette série d’articles, nous allons nous concentrer sur la partie mathématique du poker. Il y a 52 cartes dans un jeu. Chaque combinaison possible est connue. Il est donc possible de résoudre mathématiquement la probabilité de remporter une main dans une situation définie. Cela s’avère très utile au moment de prendre des décisions.

Dans ce premier volet, nous apprendrons :

  1. à définir les “Outs” (le nombre de cartes que vous devrez toucher pour améliorer votre main)
  2. comment calculer la probabilité de toucher un out et d’améliorer votre main.

Les outs au poker

Définition : Un out est une carte qui vous permet d’améliorer votre main.

Exemple 1 :

Vous avez en main . Le flop est le suivant :

Vous avez trouvé un tirage flush (couleur) en trèfle. C’est-à-dire, vous aurez besoin de toucher encore 1 trèfle pour améliorer votre main et avoir la couleur max.

Il y a 52 cartes dans un jeu. 13 en pique, 13 en trèfle, 13 en coeur et 13 en carreau.

Voici les 13 cartes en trèfles :

On retire les 4 trèfles déjà sortis

Il reste donc :  , soit 9 outs

Exemple 2 :

Vous avez en main . Le flop est le suivant

Sur cet exemple, vous avez un tirage straight (suite). Vous devez toucher un valet pour compléter votre tirage.

Voici tous les valets dans le jeu :

Vous avez donc 4 outs.

Exemple 3 :

Vous avez en main . Le flop est le suivant

Sur cet exemple, vous avez un tirage straight-flush. C’est-à-dire que vous avez à la fois un tirage straigt-flush (suite assortie), tirage flush (couleur) et tirage straight (suite). Vous avez de nombreuses possibilités d’améliorer votre main. Pour faire simple, nous allons comptabiliser vos outs en les catégorisant par tirage. Vous avez donc 3 tirages :

  1. Straight flush :
  2. Flush :
  3. Straight :

Chacune de ces 15 cartes améliore votre main. Vous avez 15 outs.

Calcul de la probabilité de toucher un out

Préambule : En connaissant simplement votre nombre d’outs, cela vous donne un aperçu sur la chance d’améliorer votre main. Par exemple, il est évident que la probabilité de toucher un out est plus grande si vous avez 15 outs que si vous avez 2 outs.

Il existe une simple méthode de calcul qui vous permettra de convertir votre nombre d’outs en pourcentage relativement précis de toucher votre main.

Lorsque l’action se situe au flop

Lorsque l’action se situe au flop, il vous reste 2 cartes (la turn et la river) pour toucher votre carte.

Formule simplifiée : Multiplier votre nombre d’outs par 4

Exemple 1

Vous avez en main . Le flop est le suivant :

Vous avez trouvé un tirage flush (couleur) en trèfle. Vous avez 9 outs.

P = outs x 4

P = 9 x 4

P = 36

Vous avez environ 36% de chance de toucher votre out entre la turn et la river.

Lorsque l’action se situe à la turn

Lorsque l’action se situe à la turn, il vous reste 1 seule carte (la river) pour toucher votre carte.

Formule simplifiée : Multiplier votre nombre d’outs par 2

Exemple 1

Vous avez en main . Le flop est le suivant : , turn

Vous avez un tirage flush (couleur) en trèfle. Vous avez 9 outs. Il reste une seule carte à tirer.

P = outs x 2

P = 9 x 2

P = 18

Vous avez environ 18% de chance de toucher votre out à la river.

Force est de constater que cette méthode ne vous donnera pas un résultat précis à la virgule près. Vous aurez une marge d’erreur de quelques %. Cependant cette précision est dans des proportions acceptables pour vous aider à prendre votre décision. Dans le feu de l’action, vous n’aurez pas forcément le besoin d’avoir un résultat parfaitement exact.

Je suis psychorigide et j’ai besoin du résultat exact à la virgule près

Bon ok, si vous insistez, on va vous expliquer la méthode de calcul exacte. A connaître surtout pour le principe.

Il y a 52 cartes dans le jeu. On est d’accord? Vous avez 2 cartes en main. De plus, il y a 3 cartes communes dévoilées au flop. Vous connaissez donc 5 cartes (vos 2 cartes et les 3 cartes communes). Vous suivez? Il reste donc 47 cartes.

Reprenons l’exemple 1 plus haut.

Exemple 1

Vous avez en main . Le flop est le suivant :

Vous avez trouvé un tirage flush (couleur) en trèfle. Comme nous l’avions vu, vous avez 9 outs.

Vous avez donc 9 chances sur 47 de toucher votre carte à la turn, puis 9 chances sur 46 de la toucher à la river. Vous suivez toujours? Pour connaître le cumul entre la turn et la river, vous devez calculer la probabilité de rater votre tirage à la turn ET à la river. La probabilité de ne pas toucher un de vos outs à la turn et de (47 – outs) ÷ 47 et de (46 – outs) ÷ 46 à la river.

P = 1 – (( 47 – outs ) ÷ 47 ) x ((46 – outs) ÷ 46 )

On vous a perdu en route? On va traduire. En résumé, c’est la probabilité de ne pas toucher à la turn, multiplié par la probabilité de ne pas toucher à la river. Donc :

P = 1 – (( 47 – 9 ) ÷ 47 ) x ((46 – 9) ÷ 46 )

P = 1 – ( 38  ÷ 47 ) x ( 37 ÷ 46 )

P = 1 – ( 0,8085 ) x ( 0,8043 )

P = 1 – 0,6503

P = 0,3497

Traduit en pourcentage = 34,97% de toucher votre out et donc 65,03% de ne pas le toucher. C’est bon, vous avez compris?

Le gars il s’appelle “On”. Il a un phare. C’est le pharaon, non ? Et bien là c’est pareil.

Vous en conviendrez, en live, vous n’aurez pas forcément le temps de calculer de manière exacte. Vous avez cependant toujours la possibilité de retenir par cœur les probabilités.

Quelques statistiques qui amélioreront votre jeu

Recevoir une premium

Vous vous verrez dealer un paire de JJ+ (JJ, QQ, KK, AA) ou AK seulement 2,1% du temps.

Flush… ou pas

Vous compléterez votre tirage flush 34,97% du temps. Soit environ 1 fois sur 3.

“Elles étaient assorties…”

Le fait que vos cartes soient assorties améliorent votre main de seulement environ 2.5%.

Flopper son brelan

Vous avez en main une paire. Vous toucherez au flop votre brelan 11,8% du temps, soit environ une fois sur 8.

Probabilité de toucher vos outs

OutsAu turnA la riverTurn + River
12.1%2.2%4.3%
24.3%4.3%8.4%
36.4%6.5%12.5%
48.5%8.7%16.5%
510.6%10.9%20.3%
612.8%13.0%24.1%
714.9%15.2%27.8%
817.0%17.4%31.5%
919.1%19.6%35.0%
1021.3%21.7%38.4%
1123.4%23.9%41.7%
1225.5%26.1%45.0%
1327.7%28.3%48.1%
1429.8%30.4%51.2%
1531.9%32.6%54.1%
1634.0%34.8%57.0%
1736.2%37.0%59.8%
1838.3%39.1%62.4%
1940.4%41.3%65.0%
2042.6%43.5%67.5%
2144.7%45.7%69.9%
2246.8%47.8%
72.2%
2348.9%50.0%74.5%

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Vous voulez en savoir plus?

Nous vous conseillons le livre de Bill Chen et de Jerrod Ankenman “Mathematics of poker” dont la traduction français “Poker Maths Sup” a été éditée par Fantaisium.

Le sommaire de Poker Maths Sup (512 pages) :

Préface de Chris Ferguson

Introduction

Partie I : Principes de base

1. Décisions selon Risques : Probabilités et Espérance
2. Prédire l’Avenir : Variance et Taille de l’échantillon
3. Utiliser Toute l’Information : Estimation des Paramètres et Théorème de Bayes

Partie II : Le jeu profitable

4. Jouer les Cotes : Cotes du Pot et Cotes Implicites
5. Le Tarot Scientifique : Lecture des Mains et Stratégies
6. Les Indices sont dans les Données : A propos du Poker En Ligne
7. Jouer avec Rigueur (½) : Situations avec Cartes Visibles
8. Jouer avec Rigueur (2/2) : Main contre distributio
9. Jeu d’adaptation : distribution contre distribution

Partie III : Le jeu optimal (Théorie des jeux)

10. Face à l’Ennemi : la Théorie des Jeux
11. Les Jeux à Demi-round
12. Tête-à-tête avec Hautes Blinds : Le Jeu Pousse–ou-Passe
13. Poker Simplifié : Le Jeu AKQ
14. Ne jouez pas aux Devinettes : Taille des Mises en No-Limit
15. Le joueur X frappe en retour : Jeux à Round Entier
16. Petites Mises, Gros Pots : Jeux [0,1] sans Jeter
17. Incorporer les Bluffs : Jeux [0,1] à Pot Fini
18. Leçons et Valeurs : Synthèse des Jeux [0,1]
19. Vers le Poker : Jeux Statiques Multi-Rounds
20. Jeux Non-Statiques Multi-Rounds
21. Une étude de Cas : Utiliser la Théorie des Jeux

Partie IV : Le risque

22. Rester dans l’Action : Risque de Ruine
23. Ajouter de l’Incertitude : Risque de Ruine avec des Taux de Gain Incertains
24. Faire Croître son Capital-Jeu : Critère de Kelly et Sélection Rationnelle de Jeu
25. Finance au Poker : Théorie du Portefeuille et Accords d’Adossement

Partie V : Autres Sujets

26. Doubler le tapis (Tournois, 1/3)
27. Les Jetons ne sont pas de l’Argent (Tournois, 2/3)
28. Le Poker est Toujours le Poker (Tournois, 3/3)
29. Il y a Foule : Jeux à Joueurs Multiples
30. Rassembler le Tout : Utiliser les Maths pour Améliorer le Jeu

Et vous?

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3 Commentaires sur "Mathématiques du poker : cotes et probabilités"

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Dans l’exemple 2 ce n’est pas un tirage flush mais un tirage straight…

Pour arrondir le tirage à la turn, le calcul un poil plus juste c’est de faire :
P = (nb outs x 2) + 2
Je mets les parenthèses pour les personnes fâchées avec les priorités en mathématiques 🙂

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